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中3数学の素因数分解の問題。n2乗/24,n2乗/18がともに自然数になるnとは???

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中学校三年生の子供に解き方がわからないと質問された。問題集の中でも「応用力をつけよう!!」みたいな最後にある問題で自分が子供のころにはやらなかった部分だ。私は教師ではないし、数学も苦手な方だった。回答・解説を読んでもその途中がわからなくなるタイプで、「だから何でそこからそうなるの?」というのがいつものパターンだ。今回の問題は、そのつらい思い出を呼び起こしてくれた。。。
でも子供の頼みだ、義務教育までの問題だったら解いてやる!!そんな意気込みだけで解いてみた。

中学校3年生 数学 素因数分解の問題

問題と回答はこんな感じ。

n2乗は、24と18の公倍数であれば自然数になる訳だけど。
(つまり分母の倍数が分子の数ならば割り切れるので整数になる)

わからないのはアンダーラインの下のところから、

n^2=(2^3x3^2)×m

ってなんだ?
実はこの式は

n^2=(最小公倍数)×m

って意味になるらしい。

何で2^3x3^2が最小公倍数になるのか、
この問題を解くには・・・
素因数分解で最小公倍数が求められることを知っていること!が大事になります。

中3数学 素因数分解で最小公倍数を求める方法

素因数分解することでいろんなことが出来るようですが、とりあえず今は最小公倍数を求めることが出来る、と言うことを説明します。

手っ取り早く今の問題の数字を見てみましょう。

ここで同じ素数を比較してみます、
2の乗数を比較
24の方は2の3乗
18の方は2の1乗(=2)
なので、乗数の大きい方の2^3を引き抜きます。

3の乗数を比較
24の方は3の1乗(=3)
18の方は3の2乗
なので、乗数の大きい方の3^2を引き抜きます。

それぞれの素数の乗数の大きい方を掛け合わせると最小公倍数になるのです、この場合は
2^3x3^2=8×9=72

n^2=72×mです。

この場合は72じゃなんかの2乗にはならないですから2倍して
72×2=144=12^2
12×12=144なのでn=12になるんです。

もっとスマートで頭のいい感じの解き方

n^2=(2^3x3^2)xm

ここでmが2なら

n^2=(2^3x3^2)x2=2^4x3^2
ということは
          n=2^2x3=12

です。

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素因数分解で最小公倍数を求めるやり方を
もう少し詳しく

今回の問題ではきれいに2と3の素数で表せましたが、その他の素数、5,7などが入った場合の考え方も書いておきます。
例題)
108と56の最小公倍数を求めてみましょう。
108 = 2^2x3^3
56 = 2^3x7
これでは素数がそろわないのでならべられませんが、
A^0=1
A^1=A
という決まりを利用して、
108 = 2^2x3^3x7^0
56 = 2^3x3^0x7^1
と表すことができるので、最小公倍数は
2^3x3^3x7^1=1512
となります。

ちなみに、最大公約数は反対に乗数の少ない方を選んで掛け合わせると求められます。

まとめ

なんとも汚い回答で申し訳ないが、きれいな模範回答を理解するためにはこんなにも分解して苦労して理解していることが、テキストでは見えてこないので書いてみた。”頭のいいひと”はスラスラ解けるし、計算も一つ飛び二つ飛びで回答が出来るものだと思っていたけれど、実際はそれが出来る人はそれが出来るまで何問も問題を解いて身に着けているから出来ることを忘れてはいけない。頭の良し悪しはそんなに差がないはずだ、と思ったり思えなかったり、だ。
インターネットで数学の問題を検索するのは難しい、今回の式はネットでは24=2^3×3とか18=2×3^2と表すらしく探すのにも苦労しました。きれいな解答は美しいですね、大人になってからチャレンジすると意外と楽しいですが、毎日延々と解く子供たちは大したもんです。がんばれー!

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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