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23x-37y=2の式をユークリッドの互除法で解く問題の解説が分からないと聞かれて悩んだ話。

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 23x-37y=2の式をユークリッドの互除法で解く問題の解説が分からないと聞かれて悩んだ話。問題の出典は2019年度代ゼミ第2回高1共通テスト模試 数学 第4問。ユークリッドの互除法で展開された数字を代入していく解説の「であるから。」の下が”なんでこの数字になるのか分からない”とのこと。

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ユークリッドの互除法で代入する所の解説で分からなかったところ。

23x-37y=2

これを求めるために,まずは

23x-37y=1

をユークリッドの互除法で解く。

ユークリッドの互除法

37=23・1+14

23=14・1+9

14=9・1+5

 9=5・1+4

 5=4・1+1

であるから,

1=5-4

 =14-2・9+5

 =37-3・23+3・14-9

 =4・37-7・23+14

 =5・37-8・23

この2行目、赤字のところの数字がどこから来たのか分からなくて悩んでいた。

14-2*9+5がどこから来たのか詳しく考えた。

 高1の数学なんて記憶に残っていない、”ユークリッドの互除法”と言われたとき「ヨーグルトのゴジョホーってなに?」と聞き返したほどだ。でもクイズみたいに探し出すだけなら面白く出来るかと思ってチャレンジしてみた。

まずユークリッドの互除法(簡単に言うと最大公約数を求める方法らしい)の説明を受けて、
展開してばらした式を、逆に当てはめて答えを求める物らしいことは分かった。

もう一度上の式を並べてみるよ。

37=23・1+14・・・①
23=14・1+9・・・・②
14=9・1+5・・・・・③
 9=5・1+4・・・・・④
 5=4・1+1・・・・・⑤
であるから,
1=5-4
 =14-2・9+5
 =37-3・23+3・14-9
 =4・37-7・23+14
 =5・37-8・23

 ①~④の式を書き換えてみるよ。(⑤は使わない)

①14=37-23・1
② 9=23-14・1
③ 5=14- 9・1
④ 4= 9- 5・1

これを使って1行目(赤字)の1=5-4に代入して考えてみるよ。
これを上の式から見つけると
1=5-4=③-④=(14-9・1)ー(9- 5・1)
これを整えると

14-2・9+5

2行目の式になりました!!

つづけて3行目の式。

14-2・9+5
=①-2・②+③
=(37-23・1)-2(23-14・1)+(14-9・1)
これを整えると

37-3・23+3・14-9

さらに4行目の式。

37-3・23+3・14-9
=37-3・23+3・①-②
=37-3・23+3(37-23・1)ー(23-14・1)
=4・37ー7・23+14

そして5行目。
4・37ー7・23+14
=4・37ー7・23+①
=4・37ー7・23+(37-23・1)

整えて

5・37-8・23

とうとう37と23の式が出来ました!!

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普通に考えた一つずつ計算した解

普通にひとつずつ解いて行っても答えは出ます。
子どもが書いていた解き方。

第4問
(1)
23x-37y=2
23x-37y=1を考える。
ユークリッドの互除法より

37=23*1+14→37-23=14 ①
23=14*1+9→23-14=9 ②
14=9*1+5→14-9=5 ③
9=5*1+4→9-5=4 ④
5=4*1+1→5-4=1 ⑤

⑤に④を代入して
5-(9-5)=1
2*5-9=1
③を代入して
2(14-9)-9=1
2*14-3*9=1
②を代入して
2*14-3(23-14)=1
5*14-3*23=1
①を代入して
5(37-23)-3*23=1
5*37-8*23=1

よって23*(-8)-37*(-5)=1

両辺を2倍して
23*(-16)-37(-10)=2

以下、ノート参照。

まとめ

 問題の中では、ほんの一部分の話ですが、分かってしまえば簡単なことでも引っかかって時間を取られるのは困ったものです。答えが合っていれば別の解き方を理解するのに時間をかけられないのが普通かもしれません。他にもたくさん問題があって科目もあって、やらなきゃならないことが沢山です。
 もう宿題も成績も関係なくなった今に、こんなピンポイントをクイズのように解くのは楽しいです。毎度、解説文が何でそうなったか分からないパターンのつまづきでした。でも数学はやっぱり納得いくまで詳しく書くと美しくないですね、ごちゃごちゃして。だから参考書ではここまで書いてないんですね。

モヤモヤがすっきりしてくれた人が一人でもいたら幸いです。

最後まで読んで頂きありがとうございました。

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